TIPOS DE FUNCIONES 2



6. FUNCION EXPONENCIAL
Comenzaremos observando las siguientes funciones: f(x) = x2 (x cuadrado) y g(x) = 2x (2 a la x) .

Las funciones f y g no son iguales. La función f(x) = x2 es una función que tiene una variable elevada a un exponente constante. Es una función cuadrática que fue estudiada anteriormente. La función g(x) = 2x es una función con una base constante elevada a una variable. Esta es un nuevo tipo de función llamada función exponencial.

Definición: Las funciones exponenciales son aquellas, que tienen una base constante y un exponente variable, la base más común es "e" (e=2.7182), una función exponencial con base b es una función de la forma f(x) = bx (b a la x) , donde b y x son números reales tal que b > 0 y b es diferente de uno.

El dominio es el conjunto de todos los números reales (R) y el recorrido es el conjunto de todos los números reales positivos (+R).

1) f(x) = 2x


Propiedades de f(x) = bx, b>0, b diferente de uno:
1) Todas las gráficas intersecan en el punto (0,1).
2) Todas las gráficas son continuas, sin huecos o saltos.
3) El eje de x es la asíntota horizontal.

Propiedades de las funciones exponenciales: Para a y b positivos, donde a y b son diferentes de uno y x, y reales:
1) Leyes de los exponentes:
2) ax = ay si y sólo si x = y

3) Para x diferente de cero, entonces ax = bx si y sólo si a = b.

La función exponencial de base e Al igual que p, e es un número irracional donde e = 2.71828...

La notación e para este número fue dada por Leonhard Euler (1727).

Definición:
Para un número real x, la ecuación f(x) = ex define a la función exponencial de base e.

Las calculadoras científicas y gráficas contienen una tecla para la función f(x) = ex.

La gráfica de f(x) = ex (e elevado a la x) es:
El dominio es el conjunto de los números reales y el rango es el conjunto de los números reales positivos.

La función f(x) = ex es una función exponencial natural. Como 2f(x) = ex está entre f(x) = 2x y f(x) = 3x, como se ilustra a continuación:
En la simplificación de expresiones exponenciales y en las ecuaciones exponenciales con base e usamos las mismas propiedades de las ecuaciones exponenciales con base b.

La gráfica de la función exponencial f(x) = e-x (e a la -x) es:


7. FUNCION LOGARITMICA:

Se llama función logarítmica a la función real de variable real :

La función logarítmica es una aplicación biyectiva definida de R*+ en R :

La función logarítmica solo está definida sobre los números positivos.
Los números negativos y el cero no tienen logaritmo
La función logarítmica de base a es la recíproca de la función exponencial de base a.
Las funciones logarítmicas más usuales son la de base 10 y la de base e = 2’718281...

Debido a la continuidad de la función logarítmica, los límites de la forma

se hallan por medio de la fórmula :


Logaritmos
A las operaciones, ya conocidas, de Adición, Sustracción, Multiplicación, División, Potenciación y Radicación, añadimos una nueva que llamamos Logaritmación.

Los logaritmos fueron introducidos en las matemáticas con el propósito de facilitar, simplificar o incluso, hacer posible complicados cálculos numéricos. Utilizando logaritmos podemos convertir : productos en sumas, cocientes en restas, potencias en productos y raíces en cocientes.

Definición de logaritmo :

Se llama logaritmo en base a del número x al exponente b al que hay que elevar la base para obtener dicho número.

que se lee : "el logaritmo en base a del número x es b" , o también : "el número b se llama logaritmo del número x respecto de la base a " .

Como podemos ver, un logaritmo no es otra cosa que un exponente , hecho que no debemos olvidar cuando trabajemos con logaritmos.

La constante a es un número real positivo distinto de 1, y se denomina base del sistema de logaritmos. La potencia ab

para cualquier valor real de b solo tiene sentido si a > 0.

La función logarítmica (o función logaritmo) es una aplicación biyectiva del conjunto de los números reales positivos, sin el cero, en el conjunto de los números reales :


Es la función inversa de la función exponencial.

La operación logaritmación (extracción de logaritmos, o tomar logaritmos) es siempre posible en el campo real cuando tanto la base a del logaritmo como el número x son positivos, (siendo, además, a distinto de 1)

Propiedades :


Logaritmos Decimales :

Se llaman logaritmos decimales o vulgares a los logaritmos que tienen por base el número 10. Al ser muy habituales es frecuente no escribir la base.


Logaritmos Neperianos :
Se llaman logaritmos neperianos, naturales o hiperbólicos a los logaritmos que tienen por base el número e.

Cambio de Base :

Antilogaritmo : Es el número que corresponde a un logaritmo dado. Consiste en el problema inverso al cálculo del logaritmo de un número.


Sistemas de Ecuaciones Logarítmicas :
Se llaman sistemas de ecuaciones logarítmicas a los sistemas de ecuaciones en los que la/s incógnita/s está sometida a la operación logaritmo.

Se resuelven como los sistemas ordinarios pero utilizando las propiedades de los logaritmos para realizar transformaciones convenientes.

Características útiles :


Si a > 1
Los números menores que 1 tienen logaritmo negativo
Los números mayores que 1 tienen logaritmo positivo

Si 0 <> a
Los números menores que 1 tienen logaritmo positivo
Los números mayores que 1 tienen logaritmo negativo.

Grafica:

Dom: (0,inf)
Rec: (-inf,+inf)
Puntos: (0,1)
Siempre Creciente
Continua

Dom: (0,inf)
Rec: (+inf,-inf)
Puntos: (1,0)
Siempre decreciente
Continua

8. FUNCION IRRACIONAL

El criterio viene dado por la variable x bajo el signo radical.

F(x)= a(bx + c) 1/n (elevado a la 1/n) + d

El dominio de una función irracional de índice impar es R.

El dominio de una función irracional de índice par está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero.

es decir:

h: -c/b

bx + c >= 0 = x >= -c/b

Dom: [h, infi) o (-infi, h]

El Recorrido de la funcion Radical impar son todos los numeros reales (R).

El Recorrido de la funcion Radical par viene dado por: [K, inf) o (inf,K], siendo K el valor del eje de las ordenadas de donde parte la funcion.

Graficas:

n impar

n par


La funcion radical es monotoma creciente, es decir siempre crece, ademas de ser continua.

Con esta entrega termino el apartado de funciones, solo me enfoque en las que tienen una mayor aplicacion en la ingenieria, mas adelante entenderemos mejor dichas aplicaciones.